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五次方程的征途:将数学带入了精妙绝伦的现代群论

五次方程的征途:将数学带入了精妙绝伦的现代群论

       暴风雨前夜

       历史的步伐匆匆进入了18世纪。随着三个方程的尘埃落定,数学家逐渐将兴趣投入到更高层次的四五个方程的通解公式中。

       这些高阶方程的谜团一直困扰了数学家们250多年。在五次方程的求解过程中,数学家终于凿开了隐藏在冰山下的现代科学,从而将数学带入了精妙绝伦的现代群论。

       这一伟大的思维成就直接为20世纪奠定了物理基础。从那时起,牛顿的机械宇宙观进入了随机和不确定的量子世界,甚至是广阔的时空相对论。一场前所未有的科学革命如风雨般来临。生活在21世纪的人类都受益于这场伟大的思维盛宴。

       在这场风暴的前夕,历史上最伟大的数学家都出现了,他们努力思考五个方程的解决方案。这朵用汗水和生命浇灌的理论之花终于在三个方程解决方案成功200年后绽放,给后代留下了无尽的智慧宝藏。

       迷局丛生

       五个方程的挑战很快点燃了欧洲大陆的战争。瑞士数学家欧拉为寻找方程提供了一个新的想法。他通过一个巧妙的转换将五个方程转换为x^5 ax b=0形式。这种优美的表达使欧拉倾向于找到五个方程的通解表达。

       与此同时,法国天才数学家拉格朗日也忘记了吃饭和睡觉来寻找五个方程。不久之后,他高兴地发现了一种特殊的方法,可以将四个方程降级为三个方程,从而找到一种简单的方法来解决四个方程,但不幸的是,同样的变化将五个方程升级为六个方程。

       这种挫折并没有打击拉格朗日的信念。他以自己的执着信念得出结论,五个方程必须有一些特殊的变化手段,才能成功地找到通解表达式。

       此后,五个方程的进展一度陷入困境。当时,五个方程的重点主要集中在两个主要问题上。第一个问题是,是的N第二个方程,至少有一个解决方案吗?第二个问题更进一步:N如果二次方程有解,会有多少个解?

       人类历史上最伟大的数学家高斯最终解决了这两个问题。他在1799年证明了第二个问题,即每个问题N都恰到好处,只有次方程N个解。所以自然推断出五个方程必须有五个解,但这些解可以通过公式表达吗?

       1800年,高斯进一步证明了一般方程的代数解似乎不存在。然而,他仍然乐观地认为,严格证明五个方程没有公式解并不难。

       波澜再起

       欧洲大陆的数学家,欧洲大陆的数学家们正在进行深入的研究。1800年,一位来自意大利的内科医生和数学爱好者鲁菲尼写了一篇500多页的论文。在这篇文章中,鲁菲尼声称,一般的五个方程(以上)没有通过一般公式表达的解决方案(以下简称无解决方案)。面对这一业余民间科学的证据,数学家们深表怀疑,由于空间太长,没有人愿意花精力来验证鲁菲尼的过程。

       鲁菲尼不情愿。在接下来的两年里,他两次把证明寄给了拉格朗日。在信中,他急切地恳求拉格朗日的评论,但他仍然沉入大海。看到没有人关心他的成就,鲁菲尼并没有灰心。他花了10年时间简化和整理证书。最后,他在1813年写了一篇论文:反思一般代数方程。

       最后,鲁菲尼终于等到了数学界的回应。法国数学协会在向国王提交的一份报告中总结了过去100年的数学进展,但对他论文的评论是,尽管鲁菲尼试图证明五个方程无法解决,但他当然做不到。

       鲁菲尼为五次方程耗费了15年的精力,非常失望。51岁时,他再次向皇家学会发表论文,很快就被无情地拒绝了。唯一让他高兴的是,大数学家柯西亲自回复说,他肯定了他的工作价值。命运对鲁菲尼来说似乎太残酷了,他没有等到荣誉去世。他死后,他的成就逐渐被大量的学术文献遗忘。

       多年后,鲁菲尼的论文被重新发现。尽管证明仍有漏洞,但从鲁菲尼开始,人们终于找到了研究五个方程的正确方向:从寻找一般解决方案公式到证明五个方程没有解决方案。

       从那时起,代数学即将迎来新的篇章。然而,建设现代数学的桥梁比鲁菲尼的情况要坎坷得多。一条通往现代群体理论的铁路将用未来最杰出的天才数学家浸泡在血液中的枕木铺成。

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